Cálculo Ejemplos

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 1.2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.2.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.2.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.2.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Paso 1.2.1.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.2.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.2.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.4.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.3.4.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.5

Resta $\frac{2}{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

Paso 1.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 1.2.1.5

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{3 x^{2}}$ por $\frac{2}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

Paso 1.2.1.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

Paso 1.2.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

Paso 1.2.1.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

Paso 1.2.2.2

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.2.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

Paso 1.2.4

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{2}{3})$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$0$

Paso 1.3

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 1.4

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.5

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

Paso 2.2.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.3

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

Paso 3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ .

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ a decimal.

$y = - 0.04828679$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

Paso 4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ .

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ a decimal.

$y = - 0.04434165$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

Paso 6