Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Paso 1.5

Como $n = m$ , la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ donde $a = 64$ y $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Paso 1.6

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{64}{3}$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{64}{3}$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Paso 2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Paso 2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Paso 2.2.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Paso 2.2.5

Multiplica $125$ por $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.7

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Paso 3.2.2

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Paso 3.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Paso 3.2.4.2

Suma $8$ y $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Paso 3.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Paso 3.2.6

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Paso 3.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Paso 3.2.8

Simplifica $\frac{729}{8} \ln (2)$ al mover $\frac{729}{8}$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Paso 3.2.9

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.2.10

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Paso 3.2.10.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Paso 3.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Paso 3.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Paso 3.2.11

La respuesta final es $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Paso 3.3

Convierte $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ a decimal.

$y = 21.0543456$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Paso 4.2.2

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Paso 4.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Paso 4.2.4.2

Suma $12$ y $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Paso 4.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Paso 4.2.6

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Paso 4.2.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Paso 4.2.8

Simplifica $\frac{2197}{27} \ln (3)$ al mover $\frac{2197}{27}$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Paso 4.2.9

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.2.10

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Paso 4.2.10.2

Multiplica $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.10.2.1

Multiplica $\frac{2197}{27}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Paso 4.2.10.2.2

Multiplica $27$ por $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Paso 4.2.11

La respuesta final es $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Paso 4.3

Convierte $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ a decimal.

$y = 29.79816294$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Paso 6