Cálculo Ejemplos

$\log_{5} (\frac{125 \cdot \sqrt{625}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $625$ como $25^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \sqrt{25^{2}}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Paso 1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot {(5^{2})}^{2}})$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(5^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{2 \cdot 2}})$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{4}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2 + 4}})$

Paso 2.4

Suma $2$ y $4$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{6}})$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Multiplica $125$ por $25$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{5^{6}})$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $6$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{15625})$

Paso 3.3

Reduce la expresión $\frac{3125}{15625}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1

Factoriza $3125$ de $3125$ .

$\log_{5} (\frac{3125 (1)}{15625})$

Paso 3.3.2

Factoriza $3125$ de $15625$ .

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{1}{5})$

Paso 4

Reescribe $\frac{1}{5}$ como $1 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$

Paso 5

Reescribe $\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$ como $\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$

Paso 6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{5} (1) - \log_{5} (5)$

Paso 7

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} (1) - 1 \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{5} (1) - 1$

Paso 9

El logaritmo en base $5$ de $1$ es $0$ .

$0 - 1$

Paso 10

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$