Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{9}{10}} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.5.2

Resta $10$ de $9$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $\frac{9}{10}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ .

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Paso 1.4.2.2

Suma $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{9}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ como ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 1$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

Paso 2.7.2

Resta $10$ de $- 1$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{11}{10}}$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{9}{10}$ por $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

Paso 2.11

Multiplica.

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Paso 2.11.1

Multiplica $10$ por $10$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

Paso 2.11.2

Mueve $x^{- \frac{11}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{9}{100}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ como ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{11}{10} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{11}{10}$ y $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

Paso 3.7.2

Resta $10$ de $- 11$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{21}{10}}$ y $\frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\frac{9}{100}$ por $1$ .

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Paso 3.11

Multiplica $\frac{9}{100}$ por $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

Paso 3.12

Multiplica.

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Paso 3.12.1

Multiplica $11$ por $9$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

Paso 3.12.2

Multiplica $100$ por $10$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

Paso 3.12.3

Mueve $x^{- \frac{21}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{99}{1000}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ como ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{21}{10} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Combina $\frac{21}{10}$ y $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

Paso 4.7.2

Resta $10$ de $- 21$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

Paso 4.9

Combina $x^{- \frac{31}{10}}$ y $\frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{99}{1000}$ por $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ .

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

Paso 4.11

Multiplica.

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Paso 4.11.1

Multiplica $21$ por $99$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

Paso 4.11.2

Multiplica $1000$ por $10$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

Paso 4.11.3

Mueve $x^{- \frac{31}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ .

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$