Cálculo Ejemplos

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{12}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{12}{x}$ y $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Paso 4.3.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Paso 4.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

Paso 4.3.3

Combina $12$ y $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

Paso 4.3.4

Combina $\frac{12}{x^{12}}$ y $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $x^{11}$ y $x^{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Factoriza $x^{11}$ de $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $x^{11}$ de $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$