Cálculo Ejemplos

$x^{2} - x y - 3 y - 1 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - 3 y - 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x y - 3 y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - (x y') - y - 3 y' + 0$

Paso 2.5.2

Suma $2 x - x y' - y - 3 y'$ y $0$ .

$2 x - x y' - y - 3 y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- x y' + 2 x - y - 3 y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' + 2 x - y - 3 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y - 3 y' = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - 3 y' = - 2 x + y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' - 3 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) - 3 y' = - 2 x + y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 3 = - 2 x + y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- x - 3) = - 2 x + y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ por $- x - 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ por $- x - 3$ .

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- x - 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 3}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 3}$

Paso 5.3.3.8

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (3)}$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 3)}$

Paso 5.3.3.10

Reescribe $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Paso 5.3.3.11

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Paso 5.3.3.12

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3}$