Cálculo Ejemplos

$y^{6} - 7 x^{5} = 7 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{6} - 7 x^{5}) = \frac{d}{d x} (7 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{6} - 7 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 y^{5} y' - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 y^{5} y' - 7 (5 x^{4})$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$6 y^{5} y' - 35 x^{4}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y' = 7$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $35 x^{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$

Paso 5.2

Divide cada término en $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ por $6 y^{5}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ por $6 y^{5}$ .

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{5}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$