Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{x^{2} + 49}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 49$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.6

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.4

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} + 49)}^{2}$ como $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.2

Mueve $49$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $49$ por $49$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.2

Suma $49 x^{2}$ y $49 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.6.1

Multiplica $98$ por $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $2401$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $4$ por $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $49$ por $- 196$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.2

Resta $196 x^{3}$ de $196 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.3

Resta $9604 x$ de $- 4802 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ .

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Paso 2.2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 196 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 14406 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.4

Factoriza $u^{2} - 98 u - 7203$ con el método AC.

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Paso 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7203$ y cuya suma es $- 98$ .

$- 147, 49$

Paso 2.2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 49$ y ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

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Paso 2.2.5.5.1

Factoriza $x^{2} + 49$ de $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Paso 2.2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 49$ de ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 2.2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 2.2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{2} - 147$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{2} - 147$ igual a $0$ .

$x^{2} - 147 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 147 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Suma $147$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 147$

Paso 3.3.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{147}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{147}$ .

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Paso 3.3.3.2.3.1

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.3.3.2.3.1.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

Paso 3.3.3.2.3.1.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x^{2} - 147) = 0$ verdadera.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $0$ y $49$ .

$f (0) = \frac{0}{49}$

Paso 4.1.2.2

Divide $0$ por $49$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $7 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $7 \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

Paso 4.3.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

Paso 4.3.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Paso 4.3.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Paso 4.3.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Paso 4.3.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $49$ por $3$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $147$ y $49$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $7$ y $196$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $7$ de $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Factoriza $7$ de $196$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

Paso 4.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $7 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ es $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

Paso 4.5

Sustituye $- 7 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 7 \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Paso 4.5.2.1.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

Paso 4.5.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

Paso 4.5.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

Paso 4.5.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Paso 4.5.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

Paso 4.5.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Paso 4.5.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $49$ por $3$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

Paso 4.5.2.1.5

Suma $147$ y $49$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

Paso 4.5.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ y $196$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Factoriza $7$ de $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.2.1.2.1

Factoriza $7$ de $196$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

Paso 4.5.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

Paso 4.5.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

Paso 4.5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

Paso 4.5.2.3

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 7 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ es $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12.22435565$ en la expresión.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 12.22435565$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 24.4487113$ por ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 12.22435565$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $149.43487113$ y $49$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $198.43487113$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

Paso 6.2.3

Divide $- 59.52946133$ por $7813650.47871413$ .

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.00000761$ .

$- 0.00000761$

Paso 6.3

En $- 12.22435565$ , la segunda derivada es $- 7.61864911 E - 6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6.06217782$ en la expresión.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 6.06217782$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 12.12435565$ por ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 6.06217782$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $36.75$ y $49$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $85.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

Paso 7.2.3

Divide $1336.71021074$ por $630525.109375$ .

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.00211999$ .

$0.00211999$

Paso 7.3

En $- 6.06217782$ , la segunda derivada es $0.00211999$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ .

Incremento en $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.06217782$ en la expresión.

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $2$ por $6.06217782$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12.12435565$ por ${6.06217782}^{2} - 147$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $6.06217782$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $36.75$ y $49$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $85.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

Paso 8.2.3

Divide $- 1336.71021074$ por $630525.109375$ .

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.00211999$ .

$- 0.00211999$

Paso 8.3

En $6.06217782$ , la segunda derivada es $- 0.00211999$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(0, 7 \sqrt{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $12.22435565$ en la expresión.

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $2$ por $12.22435565$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $24.4487113$ por ${12.22435565}^{2} - 147$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $12.22435565$ a la potencia de $2$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $149.43487113$ y $49$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $198.43487113$ a la potencia de $3$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

Paso 9.2.3

Divide $59.52946133$ por $7813650.47871413$ .

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $0.00000761$ .

$0.00000761$

Paso 9.3

En $12.22435565$ , la segunda derivada es $7.61864911 E - 6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(7 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ .

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

Paso 11