Cálculo Ejemplos

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (6 e^{5 t})$ como $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Paso 2.2

Expande $\ln (e^{5 t})$ ; para ello, mueve $5 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (3 e^{2 t})$ como $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Paso 3.2

Expande $\ln (e^{2 t})$ ; para ello, mueve $2 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Paso 6

Divide $6$ por $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Paso 7

Suma $- 5 t$ y $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Paso 8

Como $t$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 3 t = \ln (2)$

Paso 9

Divide cada término en $- 3 t = \ln (2)$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 3 t = \ln (2)$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Paso 9.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Forma decimal:

$t = - 0.23104906 \dots$