Cálculo Ejemplos

$7 \cdot 3^{t} = 5 \cdot 2^{t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7 \cdot 3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (7 \cdot 3^{t})$ como $\ln (7) + \ln (3^{t})$ .

$\ln (7) + \ln (3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Paso 2.2

Expande $\ln (3^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (5 \cdot 2^{t})$ como $\ln (5) + \ln (2^{t})$ .

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + \ln (2^{t})$

Paso 3.2

Expande $\ln (2^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + t \ln (2)$

Paso 4

Reordena $\ln (7)$ y $t \ln (3)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = \ln (5) + t \ln (2)$

Paso 5

Reordena $\ln (5)$ y $t \ln (2)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = t \ln (2) + \ln (5)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$t \ln (3) + \ln (7) - t \ln (2) - \ln (5) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (3) - t \ln (2) + \ln (\frac{7}{5}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{7}{5})$ de ambos lados de la ecuación.

$t \ln (3) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Paso 9

Factoriza $t$ de $t \ln (3) - t \ln (2)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $t$ de $t \ln (3)$ .

$t (\ln (3)) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Paso 9.2

Factoriza $t$ de $- t \ln (2)$ .

$t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Paso 9.3

Factoriza $t$ de $t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2))$ .

$t (\ln (3) - 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Paso 10

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Paso 11

Divide cada término en $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ por $\ln (3) - \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ por $\ln (3) - \ln (2)$ .

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - \ln (2)$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Paso 11.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Forma decimal:

$t = - 0.82984264 \dots$