Cálculo Ejemplos

$\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (w (3 w - 13)) = 1$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (w (3 w) + w \cdot - 13) = 1$

Paso 1.2.2

Reordena.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log (3 w \cdot w + w \cdot - 13) = 1$

Paso 1.2.2.2

Mueve $- 13$ a la izquierda de $w$ .

$\log (3 w \cdot w - 13 \cdot w) = 1$

Paso 1.3

Multiplica $w$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $w$ .

$\log (3 (w \cdot w) - 13 \cdot w) = 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $w$ por $w$ .

$\log (3 w^{2} - 13 \cdot w) = 1$

$\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 w^{2} - 13 w$

Paso 3

Resuelve $w$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 w^{2} - 13 w = 10^{1}$ .

$3 w^{2} - 13 w = 10$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 w$ .

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $- 13$ como $2$ más $- 15$

$3 w^{2} + (2 - 15) w - 10 = 0$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 w^{2} + 2 w - 15 w - 10 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 w^{2} + 2 w) - 15 w - 10 = 0$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$w (3 w + 2) - 5 (3 w + 2) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 w + 2$ .

$(3 w + 2) (w - 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 w + 2 = 0$

$w - 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $3 w + 2$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 3.5.1

Establece $3 w + 2$ igual a $0$ .

$3 w + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $3 w + 2 = 0$ en $w$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 w = - 2$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $3 w = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 w = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $w$ por $1$ .

$w = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$w = - \frac{2}{3}$

Paso 3.6

Establece $w - 5$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 3.6.1

Establece $w - 5$ igual a $0$ .

$w - 5 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 w + 2) (w - 5) = 0$ verdadera.

$w = - \frac{2}{3}, 5$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$ sea verdadera.

$w = 5$