Cálculo Ejemplos

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

Paso 1

Reescribe $3^{x + 2}$ como $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Paso 2

Reescribe $3^{2 x}$ como exponenciación.

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

Paso 5.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Factoriza $u^{2} - 9 u + 8$ con el método AC.

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Paso 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 8, - 1$

Paso 6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 6.3

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 6.4

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.4.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 8) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 8, 1$

Paso 7

Sustituye $8$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$8 = 3^{x}$

Paso 8

Resuelve $8 = 3^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 8$ .

$3^{x} = 8$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

Paso 8.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (8)$

Paso 8.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (8)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 8.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (8)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Paso 8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Paso 9

Sustituye $1$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Paso 10

Resuelve $1 = 3^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Paso 10.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Paso 10.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Paso 10.5

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 10.5.1

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 10.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 10.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 10.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 10.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Forma decimal:

$x = 1.89278926 \dots, 0$