Cálculo Ejemplos

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$

Paso 1

Resuelve $x$

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Paso 1.1

Simplifica $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)}$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica $- 3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln (x) - \ln (x^{3})} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$e^{\ln (\frac{x}{x^{3}})} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{x}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 1.1.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

Paso 1.2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

Paso 1.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ .

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{2} \cdot 5 = 2$

Paso 1.3.3

Divide cada término en $x^{2} \cdot 5 = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.1

Divide cada término en $x^{2} \cdot 5 = 2$ por $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 1.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Paso 1.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Paso 1.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 1.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 1.3.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 1.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 1.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 1.3.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 1.3.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 1.3.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 1.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.3.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.3.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.3.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.3.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 1.3.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 1.3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 1.3.5.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 1.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 1.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 1.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 2

Excluye las soluciones que no hagan que $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$ sea verdadera.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.63245553 \dots$