Cálculo Ejemplos

$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 4) (x - 4)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(x + 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Paso 1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 4$ y $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Paso 1.3.1.2

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 1$

Paso 1.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 1$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 1$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - 16$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 16 = 2^{1}$ .

$x^{2} - 16 = 2$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2 + 16$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $16$ .

$x^{2} = 18$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{18}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Paso 3.4.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 \sqrt{2}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$ sea verdadera.

$x = 3 \sqrt{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 4.24264068 \dots$