Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{x}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{x} + 15 = x - \frac{x}{4}$

Paso 1.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{x} = x - \frac{x}{4} - 15$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$4 x = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(x \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x = {(\frac{x \cdot 4 - x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3.1.4

Resta $x$ de $x \cdot 4$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Reordena $x$ y $4$ .

$4 x = {(\frac{4 \cdot x - x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3.1.4.2

Resta $x$ de $4 \cdot x$ .

$4 x = {(\frac{3 \cdot x}{4} - 15)}^{2}$

Paso 3.3.1.5

Reescribe ${(\frac{3 x}{4} - 15)}^{2}$ como $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ .

$4 x = (\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$

Paso 3.3.1.6

Expande $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x = \frac{3 x}{4} (\frac{3 x}{4} - 15) - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Paso 3.3.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Paso 3.3.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.7.1.1

Multiplica $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Paso 3.3.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{3 x}{4}$ por $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 x = \frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x = \frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.2

Multiplica $\frac{3 x}{4} \cdot - 15$ .

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Paso 3.3.1.7.1.2.1

Combina $\frac{3 x}{4}$ y $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot - 15}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.2.2

Multiplica $- 15$ por $3$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.4

Multiplica $- 15 \frac{3 x}{4}$ .

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Paso 3.3.1.7.1.4.1

Combina $- 15$ y $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 15 (3 x)}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Paso 3.3.1.7.1.6

Multiplica $- 15$ por $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} + 225$

Paso 3.3.1.7.2

Resta $\frac{45 x}{4}$ de $- \frac{45 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 2 \frac{45 x}{4} + 225$

Paso 3.3.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.8.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{45 x}{4} + 225$

Paso 3.3.1.8.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Paso 3.3.1.8.1.3

Cancela el factor común.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Paso 3.3.1.8.1.4

Reescribe la expresión.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 1 \frac{45 x}{2} + 225$

Paso 3.3.1.8.2

Reescribe $- 1 \frac{45 x}{2}$ como $- \frac{45 x}{2}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 = 4 x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 - 4 x = 0$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 4 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + 225 = 0$

Paso 4.2.3

Combina $- 4 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Paso 4.2.5

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} \cdot \frac{8}{8} + 225 = 0$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + 225 = 0$

Paso 4.2.5.3

Escribe $225$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} = 0$

Paso 4.2.5.4

Multiplica $\frac{225}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Paso 4.2.5.5

Multiplica $\frac{225}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.5.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{16} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 8 x) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.7.2

Resta $8 x$ de $- 45 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 53 x \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.7.3

Multiplica $8$ por $- 53$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Paso 4.2.7.4

Multiplica $225$ por $16$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 3600}{16} = 0$

Paso 4.2.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 3600 = 32400$ y cuya suma es $b = - 424$ .

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Paso 4.2.8.1.1

Factoriza $- 424$ de $- 424 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 (x) + 3600}{16} = 0$

Paso 4.2.8.1.2

Reescribe $- 424$ como $- 100$ más $- 324$

$\frac{9 x^{2} + (- 100 - 324) x + 3600}{16} = 0$

Paso 4.2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{2} - 100 x - 324 x + 3600}{16} = 0$

Paso 4.2.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(9 x^{2} - 100 x) - 324 x + 3600}{16} = 0$

Paso 4.2.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (9 x - 100) - 36 (9 x - 100)}{16} = 0$

Paso 4.2.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 100$ .

$\frac{(9 x - 100) (x - 36)}{16} = 0$

Paso 4.3

Establece el numerador igual a cero.

$(9 x - 100) (x - 36) = 0$

Paso 4.4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x - 100 = 0$

$x - 36 = 0$

Paso 4.4.2

Establece $9 x - 100$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.2.1

Establece $9 x - 100$ igual a $0$ .

$9 x - 100 = 0$

Paso 4.4.2.2

Resuelve $9 x - 100 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Suma $100$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 100$

Paso 4.4.2.2.2

Divide cada término en $9 x = 100$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 100$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Paso 4.4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Paso 4.4.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{100}{9}$

Paso 4.4.3

Establece $x - 36$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.3.1

Establece $x - 36$ igual a $0$ .

$x - 36 = 0$

Paso 4.4.3.2

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 36$

Paso 4.4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 x - 100) (x - 36) = 0$ verdadera.

$x = \frac{100}{9}, 36$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$ sea verdadera.

$x = 36$