Cálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

Paso 1

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

Paso 2

Resta $3$ de $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Paso 4

Factoriza $u^{2} + u - 2$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Paso 6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 7

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 7.1

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = 1, - 2$

Paso 9

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

Paso 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1$ .

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Paso 11.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 11.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 11.4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 11.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.4.2

Combina fracciones.

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Paso 11.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 11.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 11.4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 11.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 11.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 2$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 2)$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Paso 12.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Paso 12.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 12.4.1

Suma $2 π$ a $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 12.4.2

El ángulo resultante de $2.03444393$ es positivo y coterminal con $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Paso 12.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 12.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 12.6.1

Suma $π$ y $- 1.10714871$ para obtener el ángulo positivo.

$- 1.10714871 + π$

Paso 12.6.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 1.10714871$

Paso 12.6.3

Resta $1.10714871$ de $3.14159265$ .

$2.03444393$

Paso 12.6.4

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 2.03444393$

Paso 12.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Consolida las soluciones.

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Paso 14.1

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14.2

Consolida $2.03444393 + π n$ y $2.03444393 + π n$ en $2.03444393 + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ , para cualquier número entero $n$