Cálculo Ejemplos

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Entonces $d u = (14 x + 14) d x$ , de modo que $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 14 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $14$ por $1$ .

$14 x + 14$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Paso 2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{14}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{14}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$