Cálculo Ejemplos

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Paso 2

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

Paso 3

Divide cada término en $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ por $π$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\cos (\frac{π x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $π$ de $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Paso 7.2.1.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 8

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.2.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 9.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 9.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 9.2.2.1.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Paso 9.2.2.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.2.1.4.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.2.2.1.4.1.1

Factoriza $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Paso 9.2.2.1.4.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Paso 9.2.2.1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 (\frac{4}{3})$

Paso 9.2.2.1.4.2

Combina $2$ y $\frac{4}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Paso 9.2.2.1.4.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{8}{3}$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Paso 10.3

$\frac{π}{2}$ es aproximadamente $1.57079632$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Paso 10.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 10.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 10.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Paso 10.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 11

El período de la función $\cos (\frac{π x}{2})$ es $4$ , por lo que los valores se repetirán cada $4$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , para cualquier número entero $n$