Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $1 + a e^{- k t}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $a$ y $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{a}{2}$ y $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Paso 2.2.1.4

Reordena $\frac{1}{2}$ y $\frac{a e^{- k t}}{2}$ .

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3

Resuelve $t$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $t$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Paso 3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$a e^{- k t} = 1$

Paso 3.4

Divide cada término en $a e^{- k t} = 1$ por $a$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $a e^{- k t} = 1$ por $a$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $e^{- k t}$ por $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Paso 3.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Paso 3.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Expande $\ln (e^{- k t})$ ; para ello, mueve $- k t$ fuera del logaritmo.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Paso 3.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Paso 3.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Paso 3.7

Divide cada término en $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ por $- k$ y simplifica.

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Paso 3.7.1

Divide cada término en $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ por $- k$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Paso 3.7.2.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$