Cálculo Ejemplos

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

Paso 1

Simplifica $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ .

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Paso 1.1

Eleva $4096$ a la potencia de $2$ .

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $4096$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4096$ de $20480$ .

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Paso 1.2.2

Factoriza $4096$ de $16777216$ .

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Paso 1.2.4

Reescribe la expresión.

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

Paso 2

Resta $\frac{5 L^{4}}{4096}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $5 L$ de $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $5 L$ de $5 L$ .

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $5 L$ de $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $5 L$ de $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ .

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{L^{3}}{4096}$ como ${(\frac{L}{16})}^{3}$ .

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Paso 3.5

Factoriza.

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Paso 3.5.1

Simplifica.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $\frac{L}{16}$ por $1$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

Paso 3.5.1.4

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

Paso 3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Paso 5

Establece $L$ igual a $0$ .

$L = 0$

Paso 6

Establece $1 - \frac{L}{16}$ igual a $0$ y resuelve $L$ .

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Paso 6.1

Establece $1 - \frac{L}{16}$ igual a $0$ .

$1 - \frac{L}{16} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $1 - \frac{L}{16} = 0$ en $L$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{L}{16} = - 1$

Paso 6.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 16$ .

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1.1

Simplifica $- 16 (- \frac{L}{16})$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{L}{16}$ al numerador.

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.1.1.1.2

Factoriza $16$ de $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - L = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.2.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 L = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.1.1.2.2

Multiplica $L$ por $1$ .

$L = - 16 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.1

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$L = 16$

Paso 7

Establece $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ igual a $0$ y resuelve $L$ .

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Paso 7.1

Establece $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ igual a $0$ .

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ en $L$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica por el mínimo común denominador $256$ , luego simplifica.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1.2.1

Multiplica $256$ por $1$ .

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 7.2.1.2.2.1

Factoriza $16$ de $256$ .

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2.3

Cancela el factor común de $256$ .

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Paso 7.2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Paso 7.2.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

Paso 7.2.1.3

Mueve $256$ .

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

Paso 7.2.1.4

Reordena $16 L$ y $L^{2}$ .

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

Paso 7.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 16$ y $c = 256$ en la fórmula cuadrática y resuelve $L$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4

Simplifica.

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Paso 7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Paso 7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.3

Resta $1024$ de $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.4

Reescribe $- 768$ como $- 1 (768)$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (768)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.7

Reescribe $768$ como $16^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.4.1.7.1

Factoriza $256$ de $768$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.7.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ verdadera.

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$