Cálculo Ejemplos

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

Paso 3

Expande $(z - 6) (z + 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Paso 4.1.2

Mueve $15$ a la izquierda de $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 6$ por $15$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

Paso 4.2

Resta $6 z$ de $15 z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

Paso 5

Reescribe $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

Paso 6

Resuelve $z$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

Paso 6.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

Paso 6.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

Paso 6.3.2

Resta $64$ de $- 90$ .

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

Paso 6.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 9$ y $c = - 154$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 154$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.3

Suma $81$ y $616$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

Paso 6.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ sea verdadera.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Forma decimal:

$z = 8.70037878 \dots$