Cálculo Ejemplos

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

Paso 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.1.5

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.5.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.1.1.5.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 2.1.1.5.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.1.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.1.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.1.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.1

Resta $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Paso 2.1.2.2

Suma $0$ y $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Paso 3.2

Establece $\sin^{3} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.1

Establece $\sin^{3} (x)$ igual a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Paso 3.2.2

Resuelve $\sin^{3} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\sin (x) = 0$

Paso 3.2.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.2.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.2.2.6

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.2.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.2.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.3

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.3.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.3.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.3.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.3.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.3.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$