Cálculo Ejemplos

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2

Multiplica cada término en $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} + 250 = 0 x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 250 = 0$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $250$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = - 250$

Paso 3.2

Suma $250$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} + 250 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 250$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) + 250 = 0$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $250$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 125 = 0$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot 125$ .

$2 (x^{3} + 125) = 0$

Paso 3.3.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$2 (x^{3} + 5^{3}) = 0$

Paso 3.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Paso 3.3.4

Factoriza.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})) = 0$

Paso 3.3.4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)) = 0$

Paso 3.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.6

Establece $x^{2} - 5 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x^{2} - 5 x + 25$ igual a $0$ .

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.3.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 3.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.6.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$