Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 6 x^{2}$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 6 x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Paso 6.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 6.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 6.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 6.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 12$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 12$

Paso 10.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 12$

Paso 10.2

Resta $12$ de $0$ .

$- 12$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Paso 12.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 12.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(\sqrt{3})}^{2} - 12$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 14.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12$

Paso 14.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 12$

Paso 14.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Paso 14.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Paso 14.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$12 \cdot 3^{1} - 12$

Paso 14.1.1.5

Evalúa el exponente.

$12 \cdot 3 - 12$

Paso 14.1.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$36 - 12$

Paso 14.2

Resta $12$ de $36$ .

$24$

Paso 15

$x = \sqrt{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{3}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{3}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{3}$ en la expresión.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 16.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{4}{2}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 16.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2}{1}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{2} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Paso 16.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 16.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 16.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 16.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Paso 16.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Paso 16.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 18$

Paso 16.2.2

Resta $18$ de $9$ .

$f (\sqrt{3}) = - 9$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 9$ .

$y = - 9$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(- \sqrt{3})}^{2} - 12$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - 12$

Paso 18.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$12 (1 {\sqrt{3}}^{2}) - 12$

Paso 18.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$12 {\sqrt{3}}^{2} - 12$

Paso 18.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 18.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12$

Paso 18.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 12$

Paso 18.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Paso 18.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Paso 18.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$12 \cdot 3^{1} - 12$

Paso 18.1.4.5

Evalúa el exponente.

$12 \cdot 3 - 12$

Paso 18.1.5

Multiplica $12$ por $3$ .

$36 - 12$

Paso 18.2

Resta $12$ de $36$ .

$24$

Paso 19

$x = - \sqrt{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{3}$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{3}$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 20.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{4}{2}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 20.2.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 20.2.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2}{1}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{2} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 20.2.1.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 20.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 20.2.1.8

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 20.2.1.9

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 20.2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 20.2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 20.2.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 20.2.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 20.2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Paso 20.2.1.9.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Paso 20.2.1.10

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 18$

Paso 20.2.2

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9$

Paso 20.2.3

La respuesta final es $- 9$ .

$y = - 9$

Paso 21

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(\sqrt{3}, - 9)$ es un mínimo local

$(- \sqrt{3}, - 9)$ es un mínimo local

Paso 22