Cálculo Ejemplos

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

Paso 1

Divide cada término en $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ por $10$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ por $10$ .

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Mueve ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $1 + e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $1 + e^{- x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $1$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

Paso 3.2.1.3

Combina $\frac{3}{10}$ y $e^{- x}$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ .

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $\frac{3}{10}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

Paso 4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

Paso 4.2.4

Resta $3$ de $10$ .

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

Paso 4.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$3 e^{- x} = 7$

Paso 4.4

Divide cada término en $3 e^{- x} = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $3 e^{- x} = 7$ por $3$ .

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

Paso 4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

Paso 4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.6.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

Paso 4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

Paso 4.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

Paso 4.7

Divide cada término en $- x = \ln (\frac{7}{3})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $- x = \ln (\frac{7}{3})$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Paso 4.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

Paso 4.7.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ como $- \ln (\frac{7}{3})$ .

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Forma decimal:

$x = - 0.84729786 \dots$