Cálculo Ejemplos

$10 ({1.06}^{x}) = 12 ({1.14}^{x})$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (10 \cdot {1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (10 \cdot {1.06}^{x})$ como $\ln (10) + \ln ({1.06}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({1.06}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (12 \cdot {1.14}^{x})$ como $\ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$

Paso 3.2

Expande $\ln ({1.14}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Paso 4

Reordena $\ln (10)$ y $x \ln (1.06)$ .

$x \ln (1.06) + \ln (10) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Paso 5

Reordena $\ln (12)$ y $x \ln (1.14)$ .

$x \ln (1.06) + \ln (10) = x \ln (1.14) + \ln (12)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (1.06) + \ln (10) - x \ln (1.14) - \ln (12) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{10}{12}) = 0$

Paso 8

Cancela el factor común de $10$ y $12$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 (5)}{12}) = 0$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{5}{6}) = 0$

Paso 9

Resta $\ln (\frac{5}{6})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 10

Factoriza $x$ de $x \ln (1.06) - x \ln (1.14)$ .

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Paso 10.1

Factoriza $x$ de $x \ln (1.06)$ .

$x (\ln (1.06)) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 10.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (1.14)$ .

$x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 10.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14))$ .

$x (\ln (1.06) - 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 11

Reescribe $- 1 \ln (1.14)$ como $- \ln (1.14)$ .

$x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Paso 12

Divide cada término en $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ por $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ y simplifica.

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Paso 12.1

Divide cada término en $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ por $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Paso 12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

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Paso 12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Paso 12.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Paso 12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Forma decimal:

$x = - 2.50581603 \dots$