Cálculo Ejemplos

$12288 \sqrt{x} = 192 x^{2}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(12288 \sqrt{x})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $12288 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12288^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $12288$ a la potencia de $2$ .

$150994944 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$150994944 x^{1} = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica.

$150994944 x = {(192 x^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(192 x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $192 x^{2}$ .

$150994944 x = 192^{2} {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Eleva $192$ a la potencia de $2$ .

$150994944 x = 36864 {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x = 36864 x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$150994944 x = 36864 x^{4}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $36864 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$150994944 x - 36864 x^{4} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $36864 x$ de $150994944 x - 36864 x^{4}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $36864 x$ de $150994944 x$ .

$36864 x (4096) - 36864 x^{4} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $36864 x$ de $- 36864 x^{4}$ .

$36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3}) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $36864 x$ de $36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3})$ .

$36864 x (4096 - x^{3}) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $4096$ como $16^{3}$ .

$36864 x (16^{3} - x^{3}) = 0$

Paso 3.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 16$ y $b = x$ .

$36864 x ((16 - x) (16^{2} + 16 x + x^{2})) = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza.

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Paso 3.2.4.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$36864 x ((16 - x) (256 + 16 x + x^{2})) = 0$

Paso 3.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $16 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $16 - x$ igual a $0$ .

$16 - x = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $16 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 16$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x = 16$

Paso 3.6

Establece $256 + 16 x + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $256 + 16 x + x^{2}$ igual a $0$ .

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $256 + 16 x + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 16$ y $c = 256$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.3.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Paso 3.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.3

Resta $1024$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.4

Reescribe $- 768$ como $- 1 (768)$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (768)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.7

Reescribe $768$ como $16^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.6.2.3.1.7.1

Factoriza $256$ de $768$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.7.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Paso 3.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$