Cálculo Ejemplos

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (2 x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Paso 2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Paso 2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Paso 2.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $4$ por $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Paso 3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Paso 4

Reescribe $\ln (64 x^{3}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Paso 5.2

Resta $e^{0}$ de ambos lados de la ecuación.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Paso 5.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 5.4.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 5.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 4 x$ y $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.4.4

Simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.4.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.4.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Paso 5.4.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Paso 5.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 5.6

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 5.6.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 5.7

Establece $16 x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $16 x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 5.7.2

Resuelve $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.7.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3

Simplifica.

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Paso 5.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 5.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.7.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 5.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 5.7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 5.7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 5.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$