Cálculo Ejemplos

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\cos (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

Paso 1.2

Resta $2 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa la razón del ángulo triple para transformar $\cos (3 x)$ a $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.5

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $2 \cos (x)$ de $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $8 \cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $- 8 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.1.6

Factoriza $2$ de $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.1.7

Factoriza $2$ de $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.2

Reordena los términos.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

Paso 3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Paso 3.6

Factoriza.

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Paso 3.6.1

Factoriza.

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Paso 3.6.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Paso 3.6.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Paso 3.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $4 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $4 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $4 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \cos (x) = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $4 \cos (x) = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $4 \cos (x) = 1$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

Evalúa $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Paso 5.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Paso 5.2.6

Resuelve $x$

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Paso 5.2.6.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Paso 5.2.6.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Paso 5.2.6.2.2

Resta $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 6.2.5

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 7.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 7.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 7.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

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Paso 9.1

Consolida $π + 2 π n$ y $2 π n$ en $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $π n$ y $2 π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , para cualquier número entero $n$