Cálculo Ejemplos

$2 \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sin (2 x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (2 x)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u$ de $2 u^{2} - u$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $u$ de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $u$ de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Paso 3

Establece $\sin (2 x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sin (2 x)$ igual a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\sin (2 x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - 0$

Paso 3.2.5

Resuelve $x$

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Paso 3.2.5.1

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Paso 3.2.5.1.2

Suma $π$ y $0$ .

$2 x = π$

Paso 3.2.5.2

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.2.1

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.6.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $2 \sin (2 x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 \sin (2 x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 \sin (2 x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (2 x) = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 \sin (2 x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (2 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Paso 4.2.5

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.2.5.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 4.2.5.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 4.2.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.7

Resuelve $x$

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Paso 4.2.7.1

Simplifica.

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Paso 4.2.7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.7.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 4.2.7.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Paso 4.2.7.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 4.2.7.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 4.2.7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 4.2.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 4.2.7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 4.2.7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.2.7.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 4.2.7.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 4.2.8

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 4.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 4.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.2.8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2.9

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Consolida $π n$ y $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$