Cálculo Ejemplos

$\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (2 x - 1)) = \ln (3)$

Paso 1.2

Expande $(x - 3) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x + 3) = \ln (3)$

Paso 1.3.2

Resta $6 x$ de $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 3) = \ln (3)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 3$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 7 x + 3 - 3 = 0$

Paso 3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 7 x + 3 - 3$ .

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Paso 3.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$2 x^{2} - 7 x + 0 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $2 x^{2} - 7 x$ y $0$ .

$2 x^{2} - 7 x = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $2 x^{2} - 7 x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 7 x = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 7 = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 7$ .

$x (2 x - 7) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Paso 3.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.6

Establece $2 x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $2 x - 7$ igual a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $2 x - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 7$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $2 x = 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$ sea verdadera.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.5$

Forma de número mixto:

$x = 3 \frac{1}{2}$