Cálculo Ejemplos

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Paso 1.1.3

Multiplica $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

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Paso 1.1.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Paso 1.1.3.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ por $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Paso 4.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Paso 4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Paso 4.1.3

Multiplica $16$ por $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{3} = 64$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 64 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 6.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Paso 6.2.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 6.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.5

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica.

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Paso 6.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 6.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.5.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 6.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$