Cálculo Ejemplos

$\ln (5 x + 1) + \ln (x) = \ln (4)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((5 x + 1) x) = \ln (4)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (5 x \cdot x + 1 x) = \ln (4)$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x$ .

$\ln (5 (x \cdot x) + 1 x) = \ln (4)$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (5 x^{2} + 1 x) = \ln (4)$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (5 x^{2} + x) = \ln (4)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$5 x^{2} + x = 4$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + x - 4 = 0$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$5 x^{2} + 1 x - 4 = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 4$ más $5$

$5 x^{2} + (- 4 + 5) x - 4 = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 4 x + 5 x - 4 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 x^{2} - 4 x) + 5 x - 4 = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (5 x - 4) + 1 (5 x - 4) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 4$ .

$(5 x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $5 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $5 x - 4$ igual a $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $5 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 4$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $5 x = 4$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{4}{5}, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (5 x + 1) + \ln (x) = \ln (4)$ sea verdadera.

$x = \frac{4}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.8$