Cálculo Ejemplos

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (2 x - 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Paso 5

Simplifica $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 5.1.2

Multiplica ${(2 x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 5.1.3

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Paso 5.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Paso 5.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Paso 6.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Paso 6.3

Resta $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Paso 6.4

Suma $2 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Paso 7.2

Suma $1$ y $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Paso 8

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Paso 9

Factoriza $x^{2} + 6 x - 16$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $6$ .

$- 2, 8$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 11

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 11.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 12.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 8$

Paso 14

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ sea verdadera.

$x = 2$