Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} - 1 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Suma $3 e^{3 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{2 x}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{3 x} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.5

Suma $9 e^{3 x}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{1}$

Paso 3.4

Divide $9 e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 9 e^{3 x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 lim_{x \to 0} e^{3 x}$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 4.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} e^{3 \cdot 0}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{9}{2} e^{0}$

Paso 6.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9}{2}$

Forma decimal:

$4.5$