Cálculo Ejemplos

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

Paso 1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

Paso 1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{x - 3}{x - 4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

Paso 1.5

Reordena los factores en $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x (x - 4), 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x (x - 4)$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ por $x (x - 4)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ por $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x (x - 4)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Paso 3.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Paso 3.2.3.2.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Paso 3.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

Paso 3.3.2.2

Resta $x$ de $- 12 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

Paso 3.3.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

Paso 3.3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 13$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1.1

Eleva $- 13$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 3.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.6.1.3

Resta $36$ de $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

Paso 3.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ sea verdadera.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Forma decimal:

$x = 4.08876043 \dots$