Cálculo Ejemplos

$6 x e^{x y} = 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 x e^{x y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x e^{x y}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x y}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$6 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$6 (x (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Multiplica $y$ por $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \cdot 1)$

Paso 2.9

Multiplica $e^{x y}$ por $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y})$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y') + e^{x y} y) + e^{x y})$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y')) + x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Paso 2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Paso 2.10.4

Combina los términos.

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Paso 2.10.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 (x^{1} x (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Paso 2.10.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Paso 2.10.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (x^{1 + 1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Paso 2.10.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$6 x^{2} (e^{x y} (y')) + 6 x (e^{x y} y) + 6 e^{x y}$

Paso 2.10.5

Reordena los términos.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$

Paso 3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$ .

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 x y e^{x y} + 6 e^{x y} = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $6 x y e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 e^{x y} = - 6 x y e^{x y}$

Paso 5.2.2

Resta $6 e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$

Paso 5.3

Divide cada término en $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ por $6 x^{2} e^{x y}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ por $6 x^{2} e^{x y}$ .

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $6$ de $- 6 x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x y e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Factoriza $6$ de $- 6 e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.5.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Paso 5.3.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Paso 5.3.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.6

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.3.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Paso 5.3.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Paso 5.3.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$