Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x}{x^{2} - 7 x + 10} - \frac{4}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{x^{2} - 25}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{x^{2} - 5^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 5) (x - 2) (x + 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{5 x (x + 5)}{(x - 5) (x - 2) (x + 5)} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x (x + 5)}{(x - 5) (x - 2) (x + 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 5) (x - 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 5) (x - 2) (x + 5)$ .

$\frac{5 x (x + 5)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 5) (x - 2)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x + 5) (x - 5) (x - 2)$ .

$\frac{5 x (x + 5)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 x (x + 5) - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 x - 4 \cdot - 2}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 x + 8}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

Paso 6.6

Resta $4 x$ de $25 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 21 x + 8}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$