Cálculo Ejemplos

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.2

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{e e - 1}{e}$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.1

Multiplica $e e$ .

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Paso 1.4.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4.1.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4.2

Reescribe $e^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 1.4.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

Paso 2.2

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

Paso 2.4

Multiplica $e e$ .

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Paso 2.4.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

Paso 2.4.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

Paso 2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

Paso 2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Paso 4

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 5

Expande $(e + 1) (e - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $e e$ .

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Paso 6.1.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.1.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e$ .

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.4

Multiplica $e$ por $1$ .

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.2

Suma $- e$ y $e$ .

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 6.3

Suma $e^{2}$ y $0$ .

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 7.2

Combina $e^{2}$ y $\frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Reescribe $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ como $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

Paso 8.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Forma decimal:

$0.76159415 \dots$