Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}))}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

${(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

Paso 1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x}$ .

${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$

Paso 1.4

Reescribe ${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$ como $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ .

$(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Combinar.

$\frac{e^{x} e^{x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x + x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.5

Multiplica $- \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\frac{e^{- x}}{2}$ por $\frac{e^{x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x} e^{x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x + x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.5.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.5.3

Simplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.6

Multiplica $- \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2}$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $\frac{e^{x}}{2}$ por $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x} e^{- x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.6.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x - x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.6.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.6.3

Simplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.6.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Paso 3.1.7

Multiplica $- \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$ .

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{e^{- x}}{2} \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $\frac{e^{- x}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 3.1.7.3

Multiplica $\frac{e^{- x}}{2}$ por $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x} e^{- x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.7.4

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.7.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x - x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.7.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 3.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{2 x}}{4} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$