Cálculo Ejemplos

$3 y^{3} + (1) y - y = 375 {(1)}^{4}$

Paso 1

Simplifica $3 y^{3} + 1 y - y$ .

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Paso 1.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 y^{3} + y - y = 375 \cdot 1^{4}$

Paso 1.2

Combina los términos opuestos en $3 y^{3} + y - y$ .

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Paso 1.2.1

Resta $y$ de $y$ .

$3 y^{3} + 0 = 375 \cdot 1^{4}$

Paso 1.2.2

Suma $3 y^{3}$ y $0$ .

$3 y^{3} = 375 \cdot 1^{4}$

Paso 2

Simplifica $375 \cdot 1^{4}$ .

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Paso 2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 y^{3} = 375 \cdot 1$

Paso 2.2

Multiplica $375$ por $1$ .

$3 y^{3} = 375$

Paso 3

Resta $375$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{3} - 375 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $3 y^{3} - 375$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $3 y^{3}$ .

$3 (y^{3}) - 375 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $3$ de $- 375$ .

$3 y^{3} + 3 \cdot - 125 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $3$ de $3 y^{3} + 3 \cdot - 125$ .

$3 (y^{3} - 125) = 0$

Paso 4.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$3 (y^{3} - 5^{3}) = 0$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 5$ .

$3 ((y - 5) (y^{2} + y \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Paso 4.4

Factoriza.

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Paso 4.4.1

Simplifica.

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Paso 4.4.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$3 ((y - 5) (y^{2} + 5 y + 5^{2})) = 0$

Paso 4.4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 ((y - 5) (y^{2} + 5 y + 25)) = 0$

Paso 4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (y - 5) (y^{2} + 5 y + 25) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y^{2} + 5 y + 25 = 0$

Paso 6

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 7

Establece $y^{2} + 5 y + 25$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $y^{2} + 5 y + 25$ igual a $0$ .

$y^{2} + 5 y + 25 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $y^{2} + 5 y + 25 = 0$ en $y$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (y - 5) (y^{2} + 5 y + 25) = 0$ verdadera.

$y = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$