Cálculo Ejemplos

$3 x^{5} - 9 x^{4} - 28 x^{3} + 84 x^{2} + 9 x - 27 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{5}$ .

$x (3 x^{4}) - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $- 28 x^{3}$ .

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2})$ .

$x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza $x$ de $x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (3 x^{4} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ y cuya suma es $b = - 28$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $- 28$ de $- 28 u$ .

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5.1.2

Reescribe $- 28$ como $- 1$ más $- 27$

$x (3 u^{2} + (- 1 - 27) u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 u^{2} - 1 u - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((3 u^{2} - 1 u) - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (u (3 u - 1) - 9 (3 u - 1)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 1$ .

$x ((3 u - 1) (u - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2})) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.8

Factoriza.

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Paso 1.8.1

Factoriza.

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Paso 1.8.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x ((3 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3))) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.8.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.9

Factoriza $3$ de $- 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27$ .

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Paso 1.9.1

Factoriza $3$ de $- 9 x^{4}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 84 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1.9.2

Factoriza $3$ de $84 x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) - 27 = 0$

Paso 1.9.3

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Paso 1.9.4

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2})$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Paso 1.9.5

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9)$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Paso 1.10

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Paso 1.11

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 u - 9) = 0$

Paso 1.12

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.12.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot - 9 = 27$ y cuya suma es $b = 28$ .

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Paso 1.12.1.1

Factoriza $28$ de $28 u$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 (u) - 9) = 0$

Paso 1.12.1.2

Reescribe $28$ como $1$ más $27$

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + (1 + 27) u - 9) = 0$

Paso 1.12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 1 u + 27 u - 9) = 0$

Paso 1.12.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + u + 27 u - 9) = 0$

Paso 1.12.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.12.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u^{2} + u) + 27 u - 9) = 0$

Paso 1.12.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (u (- 3 u + 1) - 9 (- 3 u + 1)) = 0$

Paso 1.12.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u + 1) (u - 9)) = 0$

Paso 1.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 9)) = 0$

Paso 1.14

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Paso 1.15

Factoriza.

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Paso 1.15.1

Factoriza.

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Paso 1.15.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Paso 1.15.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 1.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 1.16

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 1.16.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 1.16.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.16.3

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1))$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1) + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.17

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.19

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.20

Simplifica cada término.

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Paso 1.20.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.20.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.20.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.20.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.20.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.20.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.20.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.21

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Paso 1.22

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Paso 1.23

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3) = 0$

Paso 1.24

Reordena los términos.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3) = 0$

Paso 1.25

Factoriza.

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Paso 1.25.1

Reescribe $3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3$ en forma factorizada.

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Paso 1.25.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.25.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 3) (x - 3) ((3 x^{3} - 9 x^{2}) - x + 3) = 0$

Paso 1.25.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

Paso 1.25.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (3 x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.25.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (3 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.26

Combina exponentes.

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Paso 1.26.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.26.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.26.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (3 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.26.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece $3 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$x = - 3, 3, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$