Cálculo Ejemplos

$8 (4^{5 - x}) = 40$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8 \cdot 4^{5 - x}) = \ln (40)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (8 \cdot 4^{5 - x})$ como $\ln (8) + \ln (4^{5 - x})$ .

$\ln (8) + \ln (4^{5 - x}) = \ln (40)$

Paso 2.2

Expande $\ln (4^{5 - x})$ ; para ello, mueve $5 - x$ fuera del logaritmo.

$\ln (8) + (5 - x) \ln (4) = \ln (40)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (8) + 5 \ln (4) - x \ln (4) = \ln (40)$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Mueve $5 \ln (4)$ .

$\ln (8) - x \ln (4) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Paso 4.2

Reordena $\ln (8)$ y $- x \ln (4)$ .

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) - \ln (40) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8}{40}) = 0$

Paso 7

Cancela el factor común de $8$ y $40$ .

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Paso 7.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 (1)}{40}) = 0$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $8$ de $40$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $5 \ln (4)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = - 5 \ln (4)$

Paso 8.2

Resta $\ln (\frac{1}{5})$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$

Paso 9

Divide cada término en $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ por $- \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ por $- \ln (4)$ .

$\frac{- x \ln (4)}{- \ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 5}{- 1} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3.1.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$x = - - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$x = 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Paso 9.3.1.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Forma decimal:

$x = 3.83903595 \dots$