Cálculo Ejemplos

$\ln (y - 1) - \ln (2) = x + \ln (x)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2}) = x + \ln (x)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (\frac{y - 1}{2}) - \ln (x) = x$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{y - 1}{2}}{x}) = x$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{y - 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = x$

Paso 5

Multiplica $\frac{y - 1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$

Paso 6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y - 1}{2 x})} = e^{x}$

Paso 7

Reescribe $\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \frac{y - 1}{2 x}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$ .

$\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $2 x$ .

$\frac{y - 1}{2 x} (2 x) = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $\frac{y - 1}{2 x} (2 x)$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{y - 1}{2 (x)} x = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y - 1 = e^{x} (2 x)$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - 1 = 2 e^{x} x$

Paso 8.3.2.1.2

Reordena los factores en $2 e^{x} x$ .

$y - 1 = 2 x e^{x}$

Paso 8.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x e^{x} + 1$