Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (0) + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$0 + \sin^{2} (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$0 + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Paso 1.3.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.3.4.5.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.4.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.3.4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5

Reescribe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 - \sqrt{2}$ .

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Paso 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ como ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.5.5

Simplifica.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.4.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.9.5

Evalúa el exponente.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.11

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.11.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Paso 1.12

El valor exacto de $\sin (\frac{3 π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 1.12.1

Reescribe $\frac{3 π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Paso 1.12.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})}^{2}$

Paso 1.12.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Paso 1.12.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.12.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.7

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.12.4.7.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Paso 1.12.4.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Paso 1.12.4.8

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Paso 1.12.4.9

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.4.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Paso 1.12.4.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Paso 1.13

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.14

Reescribe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

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Paso 1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.14.4.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Paso 1.14.5

Simplifica.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Paso 1.15

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3

Suma $- \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 + 0}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2

Divide $4$ por $4$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Paso 2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 1}{2}$

Paso 2.4.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{2}$