Cálculo Ejemplos

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Paso 1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.4.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.4.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.1.4.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe $- 1$ como $2$ más $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.2.3

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.5

Resta $3 x$ de $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 2.6.6

Resta $3$ de $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 8$ , $b = 9$ y $c = 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 32$ por $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.3

Resta $480$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 399$ como $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (399)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Paso 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 (x + 1) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 (x + 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Divide cada término en $2 (x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.2.1.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1)$

Paso 13