Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Factoriza $u^{2} - 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 3.3

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.3.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 3.4

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 2) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 2, 1$

Paso 4

Sustituye $2$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $2 = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 6

Sustituye $1$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $1 = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Paso 7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 7.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 7.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Paso 7.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (2), 0$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Paso 10.1.3

$1.61230978$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \ln (2)$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \ln (2)$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.35$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0.35$ en la desigualdad original.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Paso 10.2.3

$- 0.24344993$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \ln (2)$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \ln (2)$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Paso 10.3.3

$345.17218272$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Verdadero

$x > \ln (2)$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Verdadero

$x > \ln (2)$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \ln (2)$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < \ln (2)$

Notación de intervalo:

$(0, \ln (2))$

Paso 13