Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} - 2 e^{x} + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} - 2 e^{x} + 1 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Paso 3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 3.1.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 4

Sustituye $1$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $1 = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Paso 5.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x = 0$