Cálculo Ejemplos

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $| 2 x - 1 |$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Paso 5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$2 x - 1 = - x + 2$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 1 + x = 2$

Paso 6.2.2

Suma $2 x$ y $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2 + 1$

Paso 6.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$3 x = 3$

Paso 6.4

Divide cada término en $3 x = 3$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Divide cada término en $3 x = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.3.1

Divide $3$ por $3$ .

$x = 1$

Paso 6.5

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Paso 6.6

Simplifica $- (- x + 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Reescribe.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Paso 6.6.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Paso 6.6.4

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Paso 6.6.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Paso 6.6.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Paso 6.7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 1 - x = - 2$

Paso 6.7.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Paso 6.8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 2 + 1$

Paso 6.8.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$x = - 1$

Paso 6.9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 7

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 8

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 1, 2$

Paso 11

Obtén el dominio de $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - x = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Paso 13.1.3

$1.5$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Paso 13.2.3

$0.5$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Paso 13.3.3

$4$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Paso 13.4.3

$- 3.5$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 1$ o $x > 2$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Notación de intervalo:

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Paso 16