Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Paso 1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ y $c = - y - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.4

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5

Sea $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe ${(- 2 y - 6)}^{2}$ como $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.2

Expande $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.5.3.2

Suma $12 y$ y $12 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.2

Factoriza $4$ de $24 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.3

Factoriza $4$ de $36$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.6

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.6.7

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.8.4.1

Multiplica $y^{3}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.8.4.1.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.4.1.2

Multiplica $y$ por $y^{3}$ .

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Paso 5.8.4.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.4.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.4.2

Reescribe $- 1 y^{3}$ como $- y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.6

Multiplica $- - y^{4}$ .

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Paso 5.8.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.6.2

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.7

Multiplica $- - y^{3}$ .

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Paso 5.8.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

Paso 5.8.7.2

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Paso 5.9

Reordena los términos.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.10

Reescribe $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ como $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ .

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Paso 5.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.10.2

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Paso 5.11

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Paso 5.12

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Paso 5.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$